Анимэ или аниме?
Выбрав некоторое количество слов в словаре Ожегова, можно сказать, что в русском языке НЕТ НИ ОДНОГО СЛОВА, которое бы кончалось на "согласная"+"э". Зато есть некоторое количество слов, которые хоть и читаются с [э] на конце, пишутся через "е". Их 28. Анданте, амбре, аутодафе, безе, варьете, галифе, гофре, декольте, деюре, кабаре, карате, каре, кафе, кашне, купе, кюре, макраме, мулине, пенсне, портмоне, пюре, резюме, реноме, тире, турне, форте, шоссе, эссе.
Отдельно выделяют следующие: макраме, резюме, реноме, карате.
Первые три — имеют концовку на "-ме", но читаются на [-мэ]. Четвёртое (карате) — единственное слово японского происхождения сходной структуры и, при этом, присутствующее в словарях.
Согласно киридзи Поливанова (транслитерации), слово [anime] принадлежит к алфавиту katakana и должно однозначно транскрибироваться как "анимэ". Так же как и "каратэ". Соответственно, если слово используется как японское (т.е. не является частью русского языка), то должно писаться согласно правилам транскрипции. Но аниме — это русское слово. В смысле, УЖЕ является частью русского языка. Породило целое семейство однокоренных слов "анимешник", "анимешница", "анимка", "анимешное", "анимешничать", некоторые из которых уже используются далеко за пределами круга общения самих анимешников.
И, как русское слово, оно пишется, согласуясь с правилами уже русского языка, а не правилами транскрипции.